Šikmý nosník - příklad 8.1

Zadání

      Určete reakce a průběhy vnitřních sil na zadaném šikmém nosníku.
q = 7 kN/m, F = 12 kN, M = 20 kN

Podepření - v bodě a je pevný kloub orientovaný v globálních souřadnicích, v bodě b je kyvný prut kolmo na osu nosníku.



Řešení

bude obrazek    P5ed vlastním řešením si připravíme pomocné hodnoty, které budeme potřebovat. Z geometrie šikmého nosníku a ze zadaných vzdálenosti plynou následující vztahy pro úhel a :


Dále si vyjádříme šikmé vzdálenosti na nosníku :

1. Výpočet reakcí

Zadaný šikmý nosník je podepřen v bodě a pevným neposuvným kloubem, proto v něm vzniknou dvě složky reakcí - svislá a vodorovná, neboť kloub je orientován v globálních souřadnicích. Pro lepší přehlednost v dalších výpočtech označíme svislou složku Ra a vodorovnou Ha. V bodě b je nosník podepřen kývným prutem, jež je orientován v lokálních souřadnicích (kolmo na nosník). V kyvném prutu vzniká pouze jedna složka reakce, jež působí ve směru kyvného prutu, tedy v našem případě kolmo na nosník. Tuto složku označme Rb.
Protože jsou zatížení a složky reakcí většinou orientováný v globálních souřadnicích, budeme také v globálních souřadnicích počítat reakce.
Nahraďmě spojité rovnoměrné zatížení q náhradním břemenem Q, dále rozložme sílu F do složek F' a F'' a reakce Rb do složek Rb' a Rb''.





Nyní můžeme napsat podmínky rovnováhy a vypočítat reakce :

1. Výpočet vnitřních sil

Před výpočtem vnitřních sil musíme rozložit veškeré zatížení do lokálních souřadnic, tedy tak , aby působilo v ose nosníku a kolmo na nosník (v osách x,y).








Máme-li veškeré zatížení rozloženo do os x,y, můžeme podle stejných principů jako v předchozích příkladech vypočítat velikosti vnitřních sil.

Normálové síly

Normálové síly vyvodí ta zatížení, jež působí v ose x. V našem případě to jsou složky Ra,x, Ha,x a spojité normálové zatížení qx, jež je nahrazeno náhradním břemenem Qx. Průběh normálových sil bude mezi body a,c lineární, mezi body c,e bude průběh nulový, jak je patrné z následujících vztahů :

Posouvající síly

Posouvající síly vyvodí ta zatížení, jež působí v ose y. V našem případě to jsou složky Ra,y, Ha,y, spojité příčné zatížení qy, jež je nahrazeno náhradním břemenem Qy a síla F. Průběh posouvajících sil bude mezi body a,c lineární, mezi body c,e bude průběh po částech konstantní. Hodnoty v jednotlivých řezech jsou následující :








Ohybové momenty

Vzhledem k průběhu posouvajících sil můžeme předem určit, že průběh momentů mezi body a,c bude mít tvar paraboly 2°, a v ostatních částech bude průběh lineární. Ohybové momenty na přímém nosníku vyvodí zatížení působící v ose y, tedy to zatížení, které vyvodilo posouvající síly. Hodnoty momentů v jednotlivých řezech udávají následující vztahy :