Příhradový nosník - příklad 1

Zadání

Určete reakce a vnitřní síly na zadaném příhradovém nosníku.
F1 = 10 kN, F2 = 20 kN, F3 = 30 kN.

Řešení

Výpočet reakcí

Zadaný příhradový nosník je podepřen v bodě a pevným neposuvným kloubem, v bodě b posuvným kloubem. V bodě a tedy vzniknou dvě složky reakce Ra,x a Ra,y, v bodě b vznikne jedna složka reakce Rb. Jejich velikosti určíme z podmínek rovnováhy :
 

Výpočet vnitřních sil

Protože je konstrukce zatížena a podepřena pouze ve styčnících, vzniknou ve všech prutech pouze normálové síly. Posouvající síly i momenty jsou nulové. Budeme tedy hledat velikosti normálových sil na jednotlivých prutech 1-11.

Metoda bodu styčných

      Metoda bodu styčných je založena na rovnováze sil jednotlivých styčníku. Při použití této metody nejprve nahradíme všechny pruty konstrukce normálovými silami, jejichž směr volíme ven ze styčníku. (Předpokládáme, že všechny pruty budou namáhany tahem. Výjde-li při výpočtu u některé normálové síly záporné znaménko, znamená to, že prut je namáhan tlakem.) Potom můžeme pro každý styčník napsat dvě podmínky rovnováhy.
      V našem případě máme 7 styčníku, v každém styčníku 2 podmínky rovnováhy, tj. celkem 14 rovnic. Neznámých osových sil máme v našem připadě 11 a dále 3 složky reakcí. To je celkem 14 neznámých. Příhradový nosník je tedy staticky určitý. Řešit ale soustavu 14 rovnic o 14 neznámých by bylo obtížné, proto využijeme možnosti vyřešit složky reakcí předem z podmínek rovnováhy celé konstrukce. Potom hledáme takové styčníky, ve kterých jsou pouze dvě neznámé, které lehce určíme ze dvou podmínek rovnováhy.
      Podíváme-li se na náš příklad zjistíme, že po vyřešení reakcí máme dvě neznáme ve styčníku a a b. Zvolime si proto jeden z těchto styčníku, napíšeme podmínky rovnováhy a vyřešíme dvě neznámé osové síly.

Styčník a

V tomto příkladě je vybrán styčník a jako výchozí. Napíšeme tedy dvě podmínky rovnováhy a vyřešíme neznámé osové síly N1 a N2.








Máme-li vyřešeny osové síly N1 a N2, můžeme přejít na styčník e, ve kterém jsou teď naznámé pouze N3 a N4.

Styčník e

V tomto styčník jsou nyni neznámé osové síly N3 a N4. Napíšeme tedy dvě podmínky rovnováhy pro styčník e a vyřešíme neznámé velikosti osových síl.







Nyní přejdeme na styčník c, ve kterém jsou teď naznámé pouze N5 a N6. Tento postup opakujeme až do vyřešení všech osových sil

Styčník c

Z podmínek rovnováhy určíme neznámé osové síly N5 a N6.

Styčník f

Z podmínek rovnováhy určíme neznámé osové síly N7 a N8.

Styčník d

Z podmínek rovnováhy určíme neznámé osové síly N9 a N10.

Styčník g

Z podmínky rovnováhy ve směru osy y určíme poslední neznámou osovou sílu N11 :




Podmínka rovnováhy ve směru osy x je již první kontrolní podmínkou :

Styčník b

      V této chvíli již známe všechny neznáme osové síly. V tomto případě použijeme podmínek rovnováhy jako kontrolní podmínky. Už v předcházejícím případě byla jedna z podmínek kontrolní.



V tomto příkladě byl zvolen výchozí styčník a a od něj se postupovalo ke styčníku b. Samozřejmě bychom dostali shodné výsledky, kdybychom si zvolili výchozí styčník b a postupovali ke styčníku a. Velmi často se však postupuje současně od obou styčníku - od styčníku a se vyřeší jedna polovina nosníku, od styčníku b se vyřeší druhá polovina nosníku a kontrola se provede v jednom z vnitřních styčníků, např. ve styčníku f.

Průsečná metoda

      Průsečná metoda je velmi výhodná metoda, pokud potřebujeme určit pouze některé osové síly. Princip metody spočívá v tom, že nejprve vedeme řez příhradovým nosníkem přes pruty, ve kterých určujeme osové síly. Dále nahradíme odříznutou část nosníku neznámými osovými silami a z podmínek rovnováhy určíme jejich velikosti. Obdobně jako při určování vnitřních sil na předchozích nosnících, můžeme i zde zvolit, na které z odříznutých části budeme psát podmínky rovnováhy, zda na levé, nebo pravé.
      V našem příkladě určíme průsečnou metodou osové síly v prutech 4,5,6. Vedeme řez tedy pře tyto pruty a vybereme si pravou nabo levou část a pruty 4,5,6 nahradíme neznamými osovými silami.
Zde byla zvolena levá část. Pruty 4,5,6 jsme nahradili silami N4, N5 a N6. Předpokládáme, že v prutech vznikne tah, takže směr sil volíme ven ze styčníků. Nyní můžeme napsat podmínky rovnováhy. S výhodou použijeme momentové podmínky.
Z podmínky k bodu a určíme N4 :



Neznámou osouvou sílu N6 určíme nejlépe z podmínky k bodu f. Je-li totiž soustava v rovnováze, pak musí splňovat podmínky rovnováhy ke všem bodům v rovině. Můžeme tedy klidně užít momentovou podmínku k bodu, který neleží na konstrukci.



Osovou sílu N5 již lehce dopočítáme z libovolné podmínky.






Průsečná metoda je tedy velmi efektivní, pokud potřebujeme znát osové síly jen několika prutů, které jsou navíc daleko od podpor. Pro vypočet např. osové síly N6 jsme zde potřebovali vyřešit pouze jednu rovnici. Kdybychom použili metodu bodu styčných, tak bychom museli vyřešit 6 rovnic.
Průsečná metoda však není vždy použitelná. Pokud vedeme řez více než třemi pruty, nejsme schopni ze tří podmínek rovnováhy určit více než tři neznáme. Vyjímku tvoří speciální konstrukce, kde se ve styčnících stýka více prutů (viz. skripta a jiná literatura).
 

Přehled výsledků

U přihradových nosníku se nekreslí průběhy vnitřních sil, zvláště, pokud jsou namáhany pouze osově, ale vykreslí se schéma konstrukce s čísly prutů a vypíše tabulka osových sil. Pozor na znaménka. Bude-li v tabulce kladná hodnota, znamená to, že daný prut je tažen, bude-li záporná hodnota, znamená to, že prut bude tlačen.
Č. prutu    N [kN]   
1 -4,444
2 -28,043
3 16,025
4 -24,444
5 -16,025
6 13,333
7 16,025
8 -42,222
9 20,031
10 11,111
11 -20,031